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7/1/2013

El entramado matemático de la famosa ecuación de Dirac que describe partículas a estudio

En 1928, el físico británico Paul Dirac propuso una de las ecuaciones fundamentales que usamos hoy día para describir de forma matemática una partícula de spin ½ desde un punto de vista relativista. La representación matemática que dio Dirac permite un mejor entendimiento de ciertas partículas, entre ellas el electrón. Sin embargo, todavía queda mucho por descubrir.

Para el caso de partículas que se mueven a gran velocidad, como los electrones es muy importante que la ecuación que las describe tenga en cuenta la contribución de la teoría de la relatividad, ya que a grandes velocidades, se hacen patentes los efectos de esta teoría. Aunque Schrödinger ya encontró con anterioridad una ecuación que describe el movimiento del electrón, este no tiene en cuenta la teoría de la relatividad.

La complejidad de la estructura de la ecuación de Dirac dificulta enormemente su estudio. “Existen menos trabajos sobre la ecuación de Dirac que sobre otras ecuaciones en derivadas parciales como, por ejemplo, la de ondas o la de Schrödinger” dice la matemática Naiara Arrizabalaga. “Tiene una estructura muy complicada. Así como las ecuaciones que describen el calor o las ondas se escriben como una sola ecuación en derivadas parciales, la de Dirac es un sistema de cuatro ecuaciones relacionadas entre sí. Eso es debido a que el operador asociado a la ecuación de Dirac es un operador diferencial matricial”.

Haciendo resoluble lo irresoluble

Precisamente por la poca cantidad de trabajos sobre el tema, la tesis doctoral de Arrizabalaga estudia la ecuación de Dirac relativista. En concreto, el objetivo de la tesis es el estudio de la extensiones auto-adjuntas del operador de Dirac con diferentes potenciales, entre ellos los potenciales electromagnéticos con singularidad en el origen, utilizando para ello las desigualdades de tipo Hardy-Dirac.

Hay una condición en particular que se debe cumplir para que la ecuación de Dirac tenga una solución y esta sea única: el operador asociado a la ecuación debe ser auto-adjunto, es decir, debe ser simétrica y su dominio debe coincidir con el de su adjunto. En los casos en los que no se puede probar que el operador es auto-adjunto en cierto dominio, entonces, es interesante construir extensiones autoadjuntas.

Arrizabalaga ha estudiado cómo deben ser esas extensiones cuando la ecuación de Dirac se aplica a diferentes potenciales. “La ecuación de Dirac parte de una realidad física que es el movimiento de ciertas partículas. Pero en la realidad que nos rodea estas partículas no están solas, sino que interaccionan con otras y se encuentran bajo la influencia de campos electromagnéticos” dice Arrizabalaga. Y por ello ha estudiado el operador de Dirac con potenciales eléctricos y magnéticos. En la primera parte de la tesis, se estudian potenciales diagonales electrostáticos, y en la segunda parte potenciales electromagnéticos más generales que tienen una singularidad de tipo Coulomb.

La construcción de las extensiones auto-adjuntas para todos los potenciales estudiados están relacionadas con desigualdades de tipo Hardy-Dirac, las cuales se prueban en este mismo trabajo y tienen un interés independiente por los métodos que implican sus demostraciones y las diferentes utilidades que tienen.

Otro aspecto interesante de la ecuación de Dirac es que se puede entender como una ecuación dispersiva, es decir que describe un sistema ondulatorio que se dispersa en el tiempo y el espacio. Es por ello que la ecuación cumple ciertas estimaciones dispersivas. En la tesis se han centrado en las estimaciones de Strichartz concretamente. En la última parte de esta tesis se construyen contraejemplos para las estimaciones de Strichartz para la ecuación de Dirac magnética y, además, se encuentran contraejemplos para la ecuación de ondas.

En resumen, en la tesis se ha hecho un esfuerzo por profundizar en ciertos métodos matemáticos que permiten avanzar en la resolución de la ecuación de Dirac. Además, se cree que los métodos creados en este trabajo pueden ser de utilidad para otras ecuaciones.

Sobre la autora

Naiara Arrizabalaga (Amorebieta-Etxano, 1983). Es doctora en Matemáticas. Su grupo de investigación trabaja habitualmente con ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Schrödinger, la de Helmholtz etc, pero su tesis es uno de los primeros estudios del grupo de la ecuación de Dirac. La tesis se desarrolló durante cuatro años bajo la dirección de los catedráticos Javier Duoandikoetxea y Luis Vega González.

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